主题：立体几何与函数的困惑
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Trompette 发表于 2023-11-30 08:51题意可以推知 a(n+2) = 2 * a(n)
利用初值加归纳，可以得到两组奇偶通项和奇偶和通项
然后用 (1+(-1)^n) 把奇偶形式统一起来得到普通通项
我算了一下，普通通项是 2^[2n-3-(-1)^n)/4]
S2023 = 奇和通项(...
至于“普通和通项”我看就不必了，因为这样容易强化中学生中比较普遍的误解：数列一定要有简明统一的“通项公式”。如果不是题目要求，我想都大可不必去搞什么“统一的通项公式”了。
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午山 发表于 2023-11-29 20:18好的，我按照您的这个提示再去仔细计算一遍。
这是一道关于数列的大题，自我感觉自己的思路是清晰的，an的形式应该就是2的指数形式才可能得出条件的这个形式，然而实际上却差得很远，形式是对了，但是具体数值却完全不一样，不知道我的这种方法错在哪里了呢？ 可否...
题意可以推知 a(n+2) = 2 * a(n)
利用初值加归纳，可以得到两组奇偶通项和奇偶和通项
然后用 (1+(-1)^n) 把奇偶形式统一起来得到普通通项
我算了一下，普通通项是 2^[2n-3-(-1)^n)/4]
S2023 = 奇和通项(2023) + 偶和通项(2022)
普通和通项有点绕脑子，偷懒了
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午山 发表于 2023-11-29 20:18好的，我按照您的这个提示再去仔细计算一遍。
这是一道关于数列的大题，自我感觉自己的思路是清晰的，an的形式应该就是2的指数形式才可能得出条件的这个形式，然而实际上却差得很远，形式是对了，但是具体数值却完全不一样，不知道我的这种方法错在哪里了呢？ 可否...
a1 = S1 = 1
a2 = 2^(1-1) / a1 = 1
a3 = 2^(2-1) / a2 = 2
a4 = 2^(3-1) / a3 = 2
a5 = 2^(4-1) / a4 = 4
a6 = 2^(5-1) / a5 = 4
……
通项公式可以利用取整函数 [n/2] 表示出来，然后可用数学归纳法证明。具体你自己想，否则我用电脑排版表示出来有点复杂，反而容易看晕了。([x] 是 x 向下取整数意思，如[1.5]=1、 [2.0]=2、[-2.3]= -3 等等，你们课上讲过吗？没讲过可通过 (-1)^n 类似的函数来表达，只是形式可能会更加复杂一点。）
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yxiao_9015 发表于 2023-11-28 07:22这是一个马尔可夫过程“随机游动”问题的变形，按说高考应该不会出现这样的题，因为涉及到一些基本技巧，知道的非常简单，不知道的作为古典概型问题可能很“烧脑”。这样等于把一个数学问题，变成了对死记硬背的鼓励，高考应该不会这么做。
所以这个问题，可能最重要的...
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这是一道关于数列的大题，自我感觉自己的思路是清晰的，an的形式应该就是2的指数形式才可能得出条件的这个形式，然而实际上却差得很远，形式是对了，但是具体数值却完全不一样，不知道我的这种方法错在哪里了呢？ 可否指点一下。 谢谢！
午山 编辑于 2023-11-29 20:36
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yxiao_9015 发表于 2023-11-28 07:35多费句口舌：线和面最根本的关系就是夹角（作为特殊情况有线面平行和垂直）。或者更恰切说，重要的是从线上一点向平面引垂线，从而与原线确定的平面（垂直于给定平面）和直角三角形的形状。
谢谢！
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午山 发表于 2023-11-26 20:52我确实是把它理解错误了，我理解为电梯每一层都会停留了......所以在计算的时候就漏了一层，我这就再去把它穷举明白。
然后，这里还有一道我想不太明白的题，赌徒除了输n场以外，其实还可以同时赢a场并再输a场，相当于是在n场里插入2a场，但是由于存在0和...
所以这个问题，可能最重要的是要知道它和你所理解的“二项分布”的区别：二项分布只指“恰恰嬴多少局、输多少局”的最终结果，先赢后属或先输后嬴的意义是相同的。但现在这个显然不是这样，连续输几局可能就出局，没有“扳回”的机会了。所以必须另辟蹊径。
具体做法，关键的其实只有一步：就是 P(n) = 1/2*P(n-1) + 1/2*P(n+1)。什么意思呢：你有 n 块钱玩一局，要么输一块变成 n-1 元、要么嬴一块变成 n+1 元，概率各 1/2，所以用全概公式就得出这样的结论。
所以 2*P(n) = P(n-1) + P(n+1)，即 {P(n)|n=0，1，... B} 是等差数列。
考虑到 P(0) = 1，P(1) = 0，所以公差 d = -1/B。
所以 P(A) = 1 - A/B，当 B --> +∞ 时，P(A) --> 1，随着赌徒心理预期的无限升高，输出局的结果反成必然。
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yxiao_9015 发表于 2023-11-23 02:04关于计算，穷举即可。假定同学们从 0 层上电梯，记 xyz 为三个同学顺次从第 x、y、z 层下电梯。
1、停一层(X=1)的情形有四种 111，222，333，444 四种情形，每一种的概率是 1/64；
2、停 1、2 两层的情形的情形有 112...
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我确实是把它理解错误了，我理解为电梯每一层都会停留了......所以在计算的时候就漏了一层，我这就再去把它穷举明白。
然后，这里还有一道我想不太明白的题，赌徒除了输n场以外，其实还可以同时赢a场并再输a场，相当于是在n场里插入2a场，但是由于存在0和B的限制，再加上我认为a可以是无限大的，所以我就有点思考不清楚这种题型。
它们往往只给出第一天和某一天的概率，然后就要求我找到其中的规律，然而正是这种每一步都会影响下面所有步骤的可能性的情况让我迷惑了。 希望您能告诉我以上这些思路中，是哪个部分我理解错了吗？ 还是说我把它复杂化了呢？ 谢谢！
午山 编辑于 2023-11-26 21:09
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yxiao_9015 发表于 2023-11-21 01:42前半段不错，用韦达定理求出 S 的坐标。但后半段似乎没有找到简明的方法。
找出 S 的坐标，主要是为了得到 SF 的长度。再根据各种相似关系有 ：SF / ST = t，注意这里有个隐含的已知条件：题目中给出的内积值 80/9 实际就是 ST 长度的...
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哦——怪不得我总觉得没有用到这个条件，原来是隐藏条件啊，好的，下次我会多去注意这些细节的。感谢您的指点！
午山 编辑于 2023-11-26 20:40
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yxiao_9015 发表于 2023-11-21 01:42前半段不错，用韦达定理求出 S 的坐标。但后半段似乎没有找到简明的方法。
找出 S 的坐标，主要是为了得到 SF 的长度。再根据各种相似关系有 ：SF / ST = t，注意这里有个隐含的已知条件：题目中给出的内积值 80/9 实际就是 ST 长度的...
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我先按照您的方法再去好好计算一次这一题。非常感谢您的解答！
还有不知您对随机变量与概率有没有研究。
这一道题，我是这样理解的，虽然说有5层楼，但是为了满足每层楼都有人出去的条件，那么实际上最顶楼相当于没有的，所以我计算了停1，2，3次时的不同情况为总数，再分别除以这个总数来算的概率，但是结果却很不一样，难道是我理解错了吗？
午山 编辑于 2023-11-22 17:50
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午山 发表于 2023-11-20 13:56这一道解析几何的题，一开始我用几何分析没分析出来什么结果，最后只好用的线参，代数运算算了近二十分钟，最后还是没来得及算出答案。
事后再算了一遍答案也是少一个的。请您帮忙看一下，是我哪一步没能简化或是分析利用呢？ 谢谢！
前半段不错，用韦达定理求出 S 的坐标。但后半段似乎没有找到简明的方法。
找出 S 的坐标，主要是为了得到 SF 的长度。再根据各种相似关系有 ：SF / ST = t，注意这里有个隐含的已知条件：题目中给出的内积值 80/9 实际就是 ST 长度的平方。
于是我们得到一个关于 t 的一元多次方程，经简化得
20 t^4 - 49 t^2 + 11 = 0
从而得到关于 t^2 的两个根，1/4 和 11/5。由于 t < 1（否则所得直线与双曲线右支便不可能有两个交点），所以 t^2 = 1/4，从而有 t = +/- 1/2。
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arondes 发表于 2023-11-13 15:08这个题目 已经告诉你具体怎么做了 所以实际上考的是函数相关的知识 它涉及的概率论 只是一个背景
它的背景似乎是所谓的马尔可夫 生灭过程
那个方程是概率生成函数的“不动点”
具体的背景一言难尽 你可以查一下参考资料
说来有趣 我上学的时候 我们数学学院...
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午山 编辑于 2023-11-20 15:10
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arondes 发表于 2023-11-13 15:08这个题目 已经告诉你具体怎么做了 所以实际上考的是函数相关的知识 它涉及的概率论 只是一个背景
它的背景似乎是所谓的马尔可夫 生灭过程
那个方程是概率生成函数的“不动点”
具体的背景一言难尽 你可以查一下参考资料
说来有趣 我上学的时候 我们数学学院...
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我用有道翻译了一下您提供的这个资料的内容，除了有些专业符号看不太懂感觉挺好的。感谢您的解答！
还有在看过资料后，在函数的角度我也产生了一点想法，请您帮忙看看我的这个想法对不对？
午山 编辑于 2023-11-20 14:40
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yxiao_9015 发表于 2023-11-13 14:47《九章算术》只是个由头，说明里面有“曲池”这么个说法。那里应该没有这么复杂的几何题。
按本题所给的解释，其实就是一个“正柱体”，两个底端是平行平面上的全等图形，对应点的连线（在表面上，相当于棱）相互平行且与底面垂直。所以研究清楚底面图形就差不多了。
...
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事后再算了一遍答案也是少一个的。请您帮忙看一下，是我哪一步没能简化或是分析利用呢？ 谢谢！
午山 编辑于 2023-11-20 14:07
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arondes 发表于 2023-11-14 16:28提供一个简要的材料
https://www•asc•ohio-state•edu/hans.11/courses/632/extinction.pdf
过了啊：人家才是个高中生诶，将来可能还不知道选择什么专业，推荐大四和研究生的专业内容！
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午山 发表于 2023-11-06 12:18这里还有一道概率题，第二小题我感觉没能理解它“灭绝的概率”的意思。
因为不管是这一次分裂有没有后代，这个原始微生物是活着的呀，我认为从函数形式上分析与导数类似，所以就列式求导了它，但就是无法得证p的具体范围，因为搞不懂它和其他几个概率的关系， 还请您...
这个题目 已经告诉你具体怎么做了 所以实际上考的是函数相关的知识 它涉及的概率论 只是一个背景
它的背景似乎是所谓的马尔可夫 生灭过程
那个方程是概率生成函数的“不动点”
具体的背景一言难尽 你可以查一下参考资料
说来有趣 我上学的时候 我们数学学院的一个院士就是研究这个的
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午山 发表于 2023-11-12 21:17我先是重新研究了一下第一小题，发现其实不同的做法可以得出很多对证明第二小题有用的结论。
您的思路是完全正确的。
我结合了一下我自己的探索过程，整理出如图上所示的解答步骤， 谢谢！
噢，这个第一小题我之前看错了。因为你说没有问题，所以没细看就以为是个“显然”的结论：EF // PC // DO，所以有 EF // 平面 ADO。但忽略了这是以 F 为 AC 中点为前提的。
既然 F 为 AC 中点的条件需要证明，那过程自然是可用于后面小题的证明的。
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yxiao_9015 发表于 2023-11-07 16:34都证明了 F 是 AC 的中点，自然应该证明了 AO = sqrt(6) 吧？是事实上，在直角三角形 ABO 中，使用勾股定理可以直接得出此结论。
考察三角形 ADO，用勾股定理或余弦定理，可知 ∠AOD 为直角。所以 EF // PC // DO ...
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又去重新回顾了一下以前做过的一些几何题，发现因为现在高考要求结合实际情境，所以老师们都特别喜欢《九章算术》里的几何体。
常见的四面体已较为熟悉，但是这道题里的这个“曲池”却让我感到挺困惑。
第二小题我想去做出完整的截面，却怎么做都做不明白，很奇怪的一个几何体，还请您帮忙指点一下，谢谢！
午山 编辑于 2023-11-12 21:49
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yxiao_9015 发表于 2023-11-07 16:34都证明了 F 是 AC 的中点，自然应该证明了 AO = sqrt(6) 吧？是事实上，在直角三角形 ABO 中，使用勾股定理可以直接得出此结论。
考察三角形 ADO，用勾股定理或余弦定理，可知 ∠AOD 为直角。所以 EF // PC // DO ...
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您的思路是完全正确的。
我结合了一下我自己的探索过程，整理出如图上所示的解答步骤， 谢谢！
午山 编辑于 2023-11-12 21:28
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午山 发表于 2023-11-06 11:47这里还有一道立体几何题，我已证明F为AC中点，但是在中间的这个第二小题卡住了，找不出第二对垂直关系，只好求出每条线段长度后，试图去找出有效的几何关系，不知是我疏忽了哪一个关系了吗？ 还请您指点一下。谢谢！
考察三角形 ADO，用勾股定理或余弦定理，可知 ∠AOD 为直角。所以 EF // PC // DO ⊥ AO。
再考察直角三角形 ABC，由于 F 是斜边 AC 的中点，故三角形 FBC 是等腰三角形，故 ∠FBC = ∠ACB；另由于直角三角形 ABC 相似于直角三角形 ABO，有 ∠BAO = ∠ACB。于是 ∠FBC = ∠BAO，即 BF ⊥ AO。
于是 AO ⊥ 平面 EFB，所以 平面 AOB ⊥ 平面 EFB。
以上是（2）小题的证明。第（3）小题的结果可以从这一证明过程推论出来：
由于 BF ⊥ AO 且 EF ⊥ AO，二面角 D-AO-C = ∠BFE。没算错的话，这个角应该是 45°。
基本思路：三角形ABD 中，用余弦定理可求出 ∠ABD 的余弦等于 -sqrt(6)/6，再做 DH//BE 交 AB延长线于 H，可证明三角形 DHO 全等于三角形 BEF 且为等腰直角三角形。以上粗略划了一下，因为有事，如有需要这个计算改天写，希望没错。
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arondes 发表于 2023-11-02 16:08这个题目所提到的数列 是卡塔兰数列 他满足特定的递推公式
实际上对这题目可能穷举是更好的办法
我大概能想到一个策略 就是除了01010101…这种情况外 根据m-1的情况 把任意的1换成011就可以得到m的符合条件要求的数 然后再去掉重复
比如m=2...
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因为不管是这一次分裂有没有后代，这个原始微生物是活着的呀，我认为从函数形式上分析与导数类似，所以就列式求导了它，但就是无法得证p的具体范围，因为搞不懂它和其他几个概率的关系， 还请您帮忙看一下这一道题和我的这个计算过程。 谢谢！
午山 编辑于 2023-11-06 12:36
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arondes 发表于 2023-11-02 16:08这个题目所提到的数列 是卡塔兰数列 他满足特定的递推公式
实际上对这题目可能穷举是更好的办法
我大概能想到一个策略 就是除了01010101…这种情况外 根据m-1的情况 把任意的1换成011就可以得到m的符合条件要求的数 然后再去掉重复
比如m=2...
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我用穷举然后减去重复的以后结果是这个样子的。
午山 编辑于 2023-11-06 12:09
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